Formelsammlung Grundwasserabsenkung nach Herth/Arndts

$$R = {3000 \cdot s \cdot \sqrt{k}}$$

$$ R = {575 \cdot s \cdot \sqrt{k \cdot H}}$$

$$R = {575 \cdot s \cdot \sqrt{k \cdot m}}$$

$$R_W = {\sqrt{R^2 + A^2_{RE}}}$$

$$ R = {1,5 \cdot \sqrt{ {k \cdot H \cdot t} \over p}}$$

$$R = {1,5 \cdot \sqrt{ {k \cdot m \cdot t} \over p}}$$

freie Oberfläche: $$R_t = {c_r \cdot \sqrt{ {k \cdot H \cdot t} \over p}}$$ gespannte Oberfläche: $$R_t = {c_r \cdot \sqrt{ {k \cdot m \cdot t} \over p}}$$

freie Oberfläche:

$$ R_t = 2 \cdot \sqrt{ {{ k \cdot H \cdot t} \over p } \cdot ln \left( {Q \over Q_R} \right) } = 2 \cdot \sqrt{ {{ k \cdot H \cdot t} \over p } \cdot ln \left( {100 \over p_{Rest}} \right) } $$

gespannte Oberfläche :

$$ R_t = 2 \cdot \sqrt{ {{ k \cdot m \cdot t} \over p } \cdot ln \left( {Q \over Q_R} \right) } = 2 \cdot \sqrt{ {{ k \cdot m \cdot t} \over p } \cdot ln \left( {100 \over p_{Rest}} \right) } $$

mit: \(Q_R = { P_{Rest} \over 100} \cdot Q \)

d_BrGr = Abstand der Brunnen vom Grubenrand

$$A_{RE} = \sqrt{A_{Absenk} \over \pi}$$

Ist a die längere Seite der umschlossenen Fläche, so wird abhängig vom Seitenverhältnis \(m = \frac{a}{b}\) aus einem Diagramm der Wert η abgelesen. Damit gilt für A_RE:

$${{A}_{RE}}=\eta \cdot b$$

Nach anderen Quellen gilt für η näherungsweise (1 ≤ m ≤ 7) : $$\eta = 0,2\cdot \frac{a}{b}+0,37$$ Also: $${{A}_{RE}} = 0,2\cdot{a}+0,37\cdot{b}$$

Wird der Ersatzradius als Radius eines Kreises bestimmt, so ist eine Baugrube langgestreckt, wenn m > 3 ist (m ist im vorigen Abschnitt definiert). Wird die η-Methode benutzt, dann ist eine Baugrube langgestreckt, wenn m > 7. Für eine langgestreckte Baugrube gilt:
$$A_{RE} = {1 \over 3} \cdot \left( L_{Gr}+2d_{BrGr}\right)$$

$$A_{RE}(P) = e^{{1 \over n} \sum \limits_{i=1}^n {ln x_i}}$$

P         ein Punkt im Absenkgebiet
n         Brunnenzahl
x_i        Abstand des Punktes P vom i-ten Brunnen

$$Q = {{\pi \cdot k \cdot \left( H^2 - h^2 \right) } \over {ln \left({R \over r}\right)} } $$

Wenn \(0 < ln\left(R \over A_{RE} \right) < 1, \) dann setzte
$$Q = \pi \cdot k \cdot \left(H^2 - h^2 \right) \cdot \left( 2{ A_{RE} \over R }+ 0,25\right)$$

$$Q = {{2 \cdot \pi \cdot k \cdot m \cdot s } \over {ln \left({R \over r}\right)} }$$

Wenn \(0 < ln\left(R \over A_{RE} \right) < 1, \) dann setzte $$Q = 2 \cdot \pi \cdot k \cdot m \cdot s \cdot \left( 2 \cdot { A_{RE} \over R }+ 0,25\right)$$

$$ \begin{align} Q &=2 \cdot \pi \cdot k\cdot s \cdot \frac{{{A}_{RE}}}{\lambda }\cdot \frac{{{K}_{1}}\left( \frac{{{A}_{RE}}}{\lambda } \right)}{{{K}_{0}}\left( \frac{{{A}_{RE}}}{\lambda } \right)} \\ \lambda &= \sqrt{\ \frac{k}{k'}\cdot m\cdot m'} \end{align} $$

m' und k' gehören zur oberen, weniger durchlässigen Schicht.

$${{Q}^{+}}=\frac{\pi \cdot k\cdot ({{H}^{2}}-{{h}^{2}})}{ln\left( \frac{c\cdot {{e}_{Gew}}}{{{A}_{RE}}} \right)}$$

Lokale Baugrube neben dem Gewässer: c = 2,
Langestreckte Baugrube parallel dazu:  c = 1

$$s(x)=H-\sqrt{\ \frac{Q}{\pi \cdot k}\cdot ln\left( \frac{x}{{{A}_{RE}}} \right)+{{(H-s)}^{2}}}$$

$$s(x)=H-\frac{Q}{2\pi \cdot k\cdot m}\cdot ln\left( \frac{x}{{{A}_{RE}}} \right)$$

$$ \begin{align} a &=\frac{({{m}^{2}}-{{h}^{2}})\cdot ln(R)+2\cdot m\cdot (H-m)\cdot ln({{A}_{RE}})}{2\cdot m\cdot (H-m)+{{m}^{2}}-{{h}^{2}}} \\ \\ s(x)&= \cases{ s(x)_{frei} & x < a\cr s(x)_{gespannt} & x ≥ a } \end{align} $$

$$s(x)=\frac{Q}{2\cdot \pi \cdot k\cdot m}\cdot \frac{\lambda }{{{A}_{RE}}}\cdot \frac{{{K}_{0}}\left( \frac{x}{\lambda } \right)}{{{K}_{1}}\left( \frac{{{A}_{RE}}}{\lambda } \right)}$$

Die Gleichung der zeitlichen Absenkung lautet: $$ \begin{align} s(x,t)&=S+\beta \cdot ln(t)-\alpha \cdot ln(x) \\ S&=\beta \cdot ln\left( \frac{2,25\cdot k\cdot m}{p} \right) \\ \alpha &=2 \cdot \beta \\ \beta &=\frac{Q}{4\cdot \pi \cdot k\cdot m} \end{align} $$

Auflösung nach t ergibt: t = e^A mit: \(A=\frac{{{s}}}{\beta }\ +\ ln\ \left( \frac{A_{\operatorname{Re}}^{2}\cdot p}{2,25\cdot k\cdot m} \right)\)

h' = h-s_EB

b = halber mittlerer Brunnenabstand einer Mehrbrunnenanlage
r = wirksamer Brunnenradius

Mit \(a = T - H \) gilt: $$ {Q}_{unvk}(H,T)=\left\{ \begin{align} & 1,1\cdot Q_{vollk}(H,H)\quad 0 < a\le H \\ & 1,2\cdot Q_{vollk}(H,H)\quad H < a < 2\cdot H \\ & 1,3\cdot Q_{vollk}(H,H)\quad a \ge 2 \cdot H \\ \end{align} \right. $$

q_V = Ergiebigkeit des Vakuumbrunnens
q   = Ergiebigkeit ohne Vakuum
\(\vartheta \) = empirischer Faktor (= 15)
\(U=\frac{{{d}_{60}}}{{{d}_{10}}}\)
p_V = Unterdruck im Brunnen

Der wirksame Brunnenradius ist ungefähr die Entfernung von der Brunnenmitte, in der "der wirksame Unterdruck noch etwa 50 cm Wassersäule" beträgt (S. 76).

r·p_max = x₁· p₁ = x_n· p_n

Für den wirksamen Radius eines Vakuumtiefbrunnes gilt also:

$${{r}_{wirk}}=\frac{{{r}_{Br}}\cdot {{p}_{eff}}}{{{p}_{\max }}}=\frac{{{r}_{Br}}\cdot {{p}_{eff}}}{0,049}$$

\({{k}_{Luft}}=\frac{70}{3}\cdot k\)

1. Q_max berechnen, n schätzen ⇒ h'_vdh
2. Sichardt-Formel für das Fassungsvermögen ⇒ h'_erf
3. Reserve_h = h _vdh - h _erf bzw.
   Reserve_q = q _vdh - q _erfsub>

Für einen Einzelschlitz mit einseitigem Zufluss gilt:

Bei parallelen Schlitzen mit beidseitigem Zufluss gilt:

Die Formel berechnet den einseitigen Zufluss zu einem Meter Schlitz. Bei zweiseitigem Zufluss wird die Wassermenge verdoppelt und t_d auf andere Art berechnet.

Beidseitiger Zufluss:
$$q=\frac{2\cdot k\cdot m\cdot (T-{{t}_{e}})}{R+\lambda \cdot m}$$

$$ \begin{align} a &=\frac{R\cdot \left( {{m}^{2}}-{{h}^{2}} \right)}{2\cdot m\cdot (H-m)+{{m}^{2}}-{{h}^{2}}} \\ \\ s(x)&= \cases{ s(x)_{frei} & x < a\cr s(x)_{gespannt} & x ≥ a } \end{align} $$

c ist einem Diagramm (Abb. 63, S. 93) in Abhängigkeit vom Ungleichförmigkeitsfaktor U zu entnehmen. \(U = \frac{{{d}_{60}}}{{{d}_{10}}}\)